🔢 Çarpanlar ve Katlar 🔢

8. Sınıf Matematik - İnteraktif Öğrenme Platformu

📚 Konu Anlatımı
🎯 Çarpan Bulma Yöntemleri
🔢 Asal Sayılar
📝 Test (20 Soru)

🎯 Çarpanlar (Bölenler) Nedir?

Bir sayıyı tam bölen sayılara o sayının çarpanları veya bölenleri denir.

📌 Örnek: 12 sayısının çarpanları

12'yi tam bölen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Çünkü:

  • ✓ 12 ÷ 1 = 12
  • ✓ 12 ÷ 2 = 6
  • ✓ 12 ÷ 3 = 4
  • ✓ 12 ÷ 4 = 3
  • ✓ 12 ÷ 6 = 2
  • ✓ 12 ÷ 12 = 1

🎯 Katlar Nedir?

Bir sayının kendisi ve pozitif tam sayılarla çarpımından elde edilen sayılara o sayının katları denir.

📌 Örnek: 5 sayısının katları

5'in katları: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...

Çünkü:

  • ✓ 5 × 1 = 5
  • ✓ 5 × 2 = 10
  • ✓ 5 × 3 = 15
  • ✓ 5 × 4 = 20
  • ✓ ...

💡 Püf Noktalar

  • Her sayının çarpanı sonludur! Örneğin 20'nin sadece 6 çarpanı vardır.
  • Her sayının katı sonsuzdur! Çünkü sonsuz sayıda pozitif tam sayı vardır.
  • 1 her sayının çarpanıdır.
  • Her sayı kendisinin hem çarpanı hem de katıdır.
  • 0 her sayının katıdır (0 = n × 0)

🌳 Çarpan Ağacı Yöntemi

Çarpan ağacı yöntemi, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için kullanılan görsel bir yöntemdir.

Örnek: 24 Sayısının Çarpan Ağacı

24
4
2
2
6
2
3

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

📌 Çarpan Ağacı Adımları:

  1. Sayıyı iki çarpanına ayır
  2. Her çarpanı tekrar çarpanlarına ayır
  3. Asal sayılara ulaşana kadar devam et
  4. Tüm asal çarpanları çarp

🌈 Gökkuşağı Yöntemi

Gökkuşağı yöntemi, bir sayının tüm çarpanlarını sistematik olarak bulmak için kullanılır.

Örnek: 36 Sayısının Çarpanları

1 2 3 4 6 9 12 18 36

1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6

📌 Gökkuşağı Yöntemi Adımları:

  1. 1'den başla ve sayıyı böl
  2. Tam bölünüyorsa, her iki sayıyı yaz
  3. Sayılar birbirine yaklaşana kadar devam et
  4. Çarpan çiftlerini yay şeklinde birleştir

📊 Algoritma ile Asal Çarpanlara Ayırma

Bu yöntem, bir sayıyı sistematik olarak asal çarpanlarına ayırmak için kullanılır.

Örnek: 120 Sayısının Asal Çarpanlara Ayrılması

120
2
60
2
30
2
15
3
5
5
1

Sonuç: 120 = 2³ × 3 × 5

📌 Algoritma Adımları:

  1. Sayıyı en küçük asal sayı (2) ile böl
  2. Bölünmüyorsa bir sonraki asal sayıya geç
  3. Bölünüyorsa, bölümü yaz ve işleme devam et
  4. Sonuç 1 olana kadar tekrarla
  5. Kullanılan asal sayıları çarp

🔢 Asal Sayılar Nedir?

Asal sayı, sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır.

📌 İlk 20 Asal Sayı
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71

⚡ Asal Sayıların Özellikleri

📌 Önemli Özellikler:

  • 2 tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
  • 1 asal sayı değildir. Çünkü asal sayı tanımı "1'den büyük" der.
  • En küçük asal sayı 2'dir.
  • Asal sayıların sadece 2 çarpanı vardır: 1 ve kendisi
  • Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
📌 Asal Sayı Testi

29 asal mıdır?

29'u bölebilecek sayıları kontrol edelim:

  • 29 ÷ 2 = 14,5 ❌ (tam bölünmez)
  • 29 ÷ 3 = 9,67 ❌ (tam bölünmez)
  • 29 ÷ 5 = 5,8 ❌ (tam bölünmez)
  • 29 ÷ 7 = 4,14 ❌ (tam bölünmez)

✅ 29 asal sayıdır! Çünkü sadece 1 ve 29'a bölünür.

🎯 Asal Çarpanlar

Bir sayının çarpanları arasında bulunan asal sayılara o sayının asal çarpanları denir.

📌 Örnek: 30 sayısının asal çarpanları

30'un tüm çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

30'un asal çarpanları: 2, 3, 5

Asal çarpanlara ayırma: 30 = 2 × 3 × 5

📝 Test Soruları (20 Soru)

0%
Puan: 0
⭐
1. 21 sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
A) 32
B) 30
C) 25
D) 21
Çözüm: 21'in çarpanları: 1, 3, 7, 21
Toplam = 1 + 3 + 7 + 21 = 32
Doğru cevap: A
⭐
2. 32 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Çözüm: 32 = 2⁵
Çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Toplam 6 tane çarpan vardır.
Doğru cevap: D
⭐⭐
3. 30 sayısının doğal sayı bölenlerinin tamamı aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru verilmiştir?
A) 1,2,3,4,5,6,10,15,30
B) 1,2,3,5,6,10,15,30
C) 1,2,3,5,6,10,30
D) 1,2,3,5,6,15,30
Çözüm: 30 = 2 × 3 × 5
30'un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
4 sayısı 30'u tam bölemez.
Doğru cevap: B
⭐⭐
4. Bütün doğal sayı bölenleri sırasıyla; 1, 2, 4, 8, a, b, c olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 72
B) 64
C) 32
D) 30
Çözüm: 1, 2, 4, 8 şeklinde başlayan çarpanlar 2'nin kuvvetlerini gösterir.
64 = 2⁶ olup çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Doğru cevap: B
⭐⭐
5. Aşağıda verilen sayılardan hangisinin doğal sayı bölenlerinin sayısı tektir?
A) 27
B) 21
C) 18
D) 16
Çözüm: Sadece tam kare sayıların çarpan sayısı tektir.
16 = 4² olup çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16 (5 tane - tek)
Doğru cevap: D
⭐⭐⭐
6. 28/(x+2) ifadesinin sonucu bir doğal sayı olduğuna göre x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 68
B) 56
C) 45
D) 44
Çözüm: 28'in çarpanları: 1, 2, 4, 7, 14, 28
x+2 bu değerleri alabilir.
x değerleri: -1, 0, 2, 5, 12, 26
Toplam = -1 + 0 + 2 + 5 + 12 + 26 = 44
Doğru cevap: D
⭐⭐
7. A sayısının kendisi hariç en büyük iki doğal sayı böleni 8 ve 4'tür. Buna göre A sayısının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
Çözüm: A'nın en büyük çarpanları: A, 8, 4
8 ve 4 çarpan ise A = 16 olmalıdır.
16'nın çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16 (5 tane)
Doğru cevap: B
⭐⭐
8. Bir sayının doğal sayı bölenlerinden bazıları 2, 3, 4 ve 10'dur. Buna göre bu sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 60
B) 80
C) 90
D) 100
Çözüm: Sayı 2, 3, 4 ve 10'a tam bölünmeli.
En küçük ortak kat = 60
60 tüm bu sayılara tam bölünür.
Doğru cevap: A
⭐⭐⭐
9. Yanda kütlesi verilen çimentonun tamamı, her bir poşetin içindeki çimento miktarı kg cinsinden tam sayı ve eşit olacak şekilde poşetlere konulacaktır.
72 kg

Bu iş sonunda hiç çimento artmamış, tüm poşetler tamamen dolmuştur.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu iş için kullanılan poşet sayısı olamaz?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 32
Çözüm: 72'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
32 sayısı 72'nin çarpanı değildir.
Doğru cevap: D
⭐⭐⭐
10. Bir video oynatma platformunda bir video açıldığında video süresinin doğal sayı çarpanlarının sayısı kadar dakika süren reklam izlenmektedir. Video süresi 36 dakika olan bir videonun tamamen izlenmesi en az kaç dakika sürer?
A) 42
B) 45
C) 46
D) 48
Çözüm: 36 = 2² × 3²
Çarpan sayısı = (2+1) × (2+1) = 9
Toplam süre = 36 + 9 = 45 dakika
Doğru cevap: B
⭐⭐
11. Doğrusal bir yolun bir kenarına 6 ağaç dikilecektir. Dikilen ağaçların başlangıç noktasına uzaklıkları metre cinsinden 12'nin farklı doğal sayı çarpanlarıdır.
Başlangıç
🌳
1m
🌳
2m
🌳
3m
🌳
4m
🌳
6m
🌳
12m
Buna göre aşağıdakilerden hangisi metre cinsinden ardışık iki ağaç arasındaki mesafe olamaz?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
Çözüm: 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Sıralı uzaklıklar: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Ardışık farklar: 1, 1, 1, 2, 6
3 mesafesi ardışık ağaçlar arasında bulunmaz.
Doğru cevap: C
⭐⭐
12. Aşağıdaki abaküsün çubuklarına çubuklar ile aynı renkte ve çubukların üzerinde yazan sayının doğal sayı bölenleri kadar boncuk konulacaktır.
16
Turuncu
18
Mavi
25
Kırmızı
29
Gri
Buna göre en fazla hangi renk boncuk kullanılır?
A) Turuncu
B) Mavi
C) Kırmızı
D) Gri
Çözüm:
16'nın çarpanları: 1,2,4,8,16 (5 tane)
18'in çarpanları: 1,2,3,6,9,18 (6 tane)
25'in çarpanları: 1,5,25 (3 tane)
29'un çarpanları: 1,29 (2 tane - asal sayı)
En fazla: Mavi (18)
Doğru cevap: B
⭐⭐⭐
13. Aşağıda tamamen boş olan A ve B havuzların hacimleri verilmiştir.
18 L
Havuz A
24 L
Havuz B
Bu havuzların üzerindeki musluklardan saatte, litre cinsinden doldurduğu havuzun hacminin doğal sayı bölenlerinin sayısı kadar su akmaktadır.

Buna göre musluklar aynı anda açılırsa aşağıdakilerden hangisi doğru olur?
A) Önce A tamamen dolar
B) Önce B tamamen dolar
C) A ile B aynı anda dolar
D) B'nin dolması 5 saat sürer
Çözüm:
18'in çarpan sayısı: 6 (1,2,3,6,9,18)
24'ün çarpan sayısı: 8 (1,2,3,4,6,8,12,24)
A havuzu: 18÷6 = 3 saatte dolar
B havuzu: 24÷8 = 3 saatte dolar
Doğru cevap: C
⭐⭐⭐
14. Aşağıdaki şekil kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenlerden oluşmaktadır.
21 cm²
15 cm²
28 cm²
A
Buna göre A bölgesinin alanı kaç santimetrekaredir?
A) 22
B) 20
C) 18
D) 8
Çözüm: 21 = 3×7, 15 = 3×5, 28 = 4×7
Ortak kenarlar düşünüldüğünde: A = 4×5 = 20
Doğru cevap: B
⭐⭐⭐⭐
15. Genişliği 80 cm olan eş iki koltuk ile uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olan eş sandalyelerin aralarnda hiç boşluk kalmayacak şekilde bir doğru boyunca dizilimi aşağıdaki gibidir.
Buna göre koltuk ve sandalyelerin toplam uzunluğu santimetre cinsinden aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 440
B) 475
C) 510
D) 550
Çözüm: 2 koltuk = 160 cm, 7 sandalye = x cm
Toplam = 160 + 7x
x tam sayı olmalı. B seçeneği: 475 = 160 + 7x → x = 45
Diğerleri de tam sayı verir.
Doğru cevap: B
⭐⭐
16. 120 sayısının asal çarpanlarının çarpımı kaçtır?
A) 30
B) 24
C) 20
D) 15
Çözüm: 120 = 2³ × 3 × 5
Asal çarpanlar: 2, 3, 5
Çarpımları: 2 × 3 × 5 = 30
Doğru cevap: A
⭐⭐⭐
17. Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanlarının sayısı diğerlerinden fazladır?
A) 40
B) 60
C) 210
D) 300
Çözüm:
40 = 2³ × 5 → Asal çarpanlar: 2, 5 (2 tane)
60 = 2² × 3 × 5 → Asal çarpanlar: 2, 3, 5 (3 tane)
210 = 2 × 3 × 5 × 7 → Asal çarpanlar: 2, 3, 5, 7 (4 tane)
300 = 2² × 3 × 5² → Asal çarpanlar: 2, 3, 5 (3 tane)
Doğru cevap: C
⭐⭐⭐⭐
18. Bir asal sayının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) Yoktur
Çözüm: Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünür.
Örnek: 7'nin çarpanları: 1 ve 7 (2 tane)
Her asal sayının 2 çarpanı vardır.
Doğru cevap: B
⭐⭐⭐⭐
19. m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere; A = 2m × 5n ve m + n = 3 olduğuna göre A sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 50
B) 70
C) 78
D) 85
Çözüm: m + n = 3 olduğuna göre:
m=1, n=2 → A = 21 × 52 = 2 × 25 = 50
m=2, n=1 → A = 22 × 51 = 4 × 5 = 20
m=3, n=0 → A = 23 × 50 = 8 × 1 = 8
Toplam = 50 + 20 + 8 = 78
Doğru cevap: C
⭐⭐
20. 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 29, 31, 43, 49, 97, 99

Yukarıdaki sayılardan kaç tanesi asal sayıdır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Çözüm:
Asal olanlar: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 43, 97
Asal olmayanlar:
- 15 = 3×5
- 21 = 3×7
- 49 = 7×7
- 99 = 9×11
Toplam 9 asal sayı vardır.
Doğru cevap: D